Obliczanie pozycji planet w Planetowebie
Poniżej opisany jest sposób obliczania pozycji planet w PlanetoWebie
Znaczenia symboli
Źródło: wikipedia.org
$t$ - czas od J2000.0
$P$ - okres obiegu planety wokół Słońca
$E$ - anomalia mimośrodowa
$e$ - mimośród orbity
$v$ - anomalia prawdziwa
$a$ - półoś wielka
$N$ - długość węzła wstępującego
$w$ - agrument perycentrum
$i$ - inklinacja
Anomalia średnia
„Anomalia średnia – odległość kątowa od perycentrum orbity do fikcyjnego punktu, który porusza
się jednostajnie ze stałą prędkością kątową n.” (źródło: pl.wikipedia.org)
Planetoweb oblicza ją z następującego wzoru:
\[ M = M_0 + nt \]
gdzie $M_0$ oznacza anomalię średnią w epoce J2000.0, a $n$ to zmiana kąta w ciągu jednego dnia, czyli:
\[ n = {2{\pi} \over P} \]
Planetoweb oblicza ją z następującego wzoru:
\[ M = M_0 + nt \]
gdzie $M_0$ oznacza anomalię średnią w epoce J2000.0, a $n$ to zmiana kąta w ciągu jednego dnia, czyli:
\[ n = {2{\pi} \over P} \]
Anomalia mimośrodowa
Anomalia mimośrodowa mogłaby nam posłużyć do obliczenia anomalii prawdziwej:
\[ v = 2 \arctan \left (\sqrt{{e+1 \over e-1}} \tan {E \over 2} \right )\]
Mając anomalię średnią, do wyznaczenia anomalii mimośrodowej, można posłużyć się równaniem Keplera:
\[ M = E - e \sin E \]
Jednak równanie Keplera jest równaniem przestępnym i do rozwiązania go trzeba użyć metody numerycznej.
\[ v = 2 \arctan \left (\sqrt{{e+1 \over e-1}} \tan {E \over 2} \right )\]
Mając anomalię średnią, do wyznaczenia anomalii mimośrodowej, można posłużyć się równaniem Keplera:
\[ M = E - e \sin E \]
Jednak równanie Keplera jest równaniem przestępnym i do rozwiązania go trzeba użyć metody numerycznej.
„Równanie środka”
Można jednak pominąć obliczanie anomalii mimośrodowej i użyć „równania środka” (ang. Equation of the center). Jest ono równe różnicy prawdziwej i średniej anomalii. Rozwinięcie go do rzędu $e^3$ daje wystarczającą dokładność.
Anomalia prawdziwa
Używając „równania środka” uzyskujemy wzór na przybliżoną anomalię prawdziwą:
\[ v = M + \left (2e - {e^3 \over 4} \right ) \sin M + {5 \over 4} e^2 \sin 2M + {13 \over 12} e^3 \sin 3M \]
\[ v = M + \left (2e - {e^3 \over 4} \right ) \sin M + {5 \over 4} e^2 \sin 2M + {13 \over 12} e^3 \sin 3M \]
Odległość od Słońca i współrzędne
Środek układu współrzędnych w Planetowebie znajduje się tam, gdzie jest Słońce. Płaszczyzną odniesienia dla
inklinacji ($i$) jest płaszczyzna orbity Ziemi. W naszym modelu jest to płaszczyzna:
\[ \begin{cases}\begin{matrix} x \in \mathbb R \\ y \in \mathbb R \\ z = 0 \end{matrix}\end{cases} \]
Znając półoś wielką orbity ($a$) możemy wyznaczyć odległość planety od Słońca ($r$):
\[ r = {a(1 - e^2) \over 1 + e \cos v} \]
A znając długość węzła wstępującego ($N$), argument perycentrum ($w$) możemy wyznaczyć ostateczne współrzędne:
\[ x = r \left( \cos (N) \cos (v+w) - \sin (N) \sin (v+w) \cos (i) \right) \] \[ y = r \left( \sin (N) \cos (v+w) + \cos (N) \sin (v+w) \cos (i) \right) \] \[ z = r \sin (v+w) \sin (i) \]
\[ \begin{cases}\begin{matrix} x \in \mathbb R \\ y \in \mathbb R \\ z = 0 \end{matrix}\end{cases} \]
Znając półoś wielką orbity ($a$) możemy wyznaczyć odległość planety od Słońca ($r$):
\[ r = {a(1 - e^2) \over 1 + e \cos v} \]
A znając długość węzła wstępującego ($N$), argument perycentrum ($w$) możemy wyznaczyć ostateczne współrzędne:
\[ x = r \left( \cos (N) \cos (v+w) - \sin (N) \sin (v+w) \cos (i) \right) \] \[ y = r \left( \sin (N) \cos (v+w) + \cos (N) \sin (v+w) \cos (i) \right) \] \[ z = r \sin (v+w) \sin (i) \]